数学建模试题分享之地板砖铺设问题

臭小子

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地板砖铺设问题

   在工程中经常会遇到将一种固定形状的材料铺设到某种物体表面的问题。房屋地板砖的铺设就是其中的一种典型实例。在地板砖的铺设问题中，需要考虑地板砖的成本、铺设人工费用以及地板砖破损成本等方面，目标是为了使成本最小化，同时需要考虑整块地板砖的使用比例，即切割地板砖数尽量少，达到美观效果。

设工程中能购买到的地板砖的尺寸、价格、安装费用、破损概率等参数如表1所示。需要铺设的房屋地面结构如图1所示。假设每块地板砖只能沿着平行于边的方向切割，最多只能切割一次，且切割所用人工费跟切割长度成正比。

1.  请综合考虑影响地板砖铺设成本的因素，建立计算地板砖铺设总成本的模型。

2.  若仅使用一种尺寸的地板砖进行铺设，请设计一种算法进行地板砖的自动铺设，并计算铺设地板砖的块数、利用率和总费用，比较分析哪种尺寸的地板砖铺设成本最低。

3.  若允许使用多种尺寸的地板砖进行混合铺设，又如何实现地板砖的自动铺设，并计算铺设各种尺寸地板砖的块数、利用率和总费用。

4.  根据你的模型、算法和计算结果，为地板砖铺设提出一些意见和建议。

表1 各种地板砖相关参数

尺寸	单价（元）	破损概率（%）	切割成本（元/块）
800mm*800mm	180	8	4
600mm*600mm	130	7	3
600mm*300mm	80	6	3或1.5
400mm*400mm	72	5	2
300mm*300mm	45	3	1.5

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image002.jpg

图1户型结构图（单位mm）

(注：铺设地板砖时不需考虑家具等限制，只需考虑墙面限制，进行地面全铺设。)